Biến đổi Z, giống như nhiều biến đổi tích phân khác, có thể được định nghĩa là biến đổi một mặt hoặc hai mặt.

Biến đổi Z song phương

Biến đổi Z song phương hoặc hai mặt của một tín hiệu thời gian rời rạc x[n] là chuỗi hàm mũ X(z) được định nghĩa bằng

X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}

trong đó n là một số nguyên và z nói chung là một số phức:

z = A e j ϕ = A ( cos ⁡ ϕ + j sin ⁡ ϕ ) {\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,}

Trong đó A là biên độ của z, j là đơn vị ảo, và ɸ là argument phức (cũng được gọi là góc hoặc pha) theo radian.

Biến đổi Z đơn phương

Ngoài ra, trong trường hợp x[n] được xác định chỉ với n ≥ 0, biến đổi Z một mặt hoặc đơn phương được định nghĩa là

X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n . {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}

Trong xử lý tín hiệu, định nghĩa này có thể được sử dụng để đánh giá biến đổi Z-của các đáp ứng xung đơn vị của một hệ thống nhân quả thời gian rời rạc.

Một ví dụ quan trọng của biến đổi z đơn phương là hàm tạo xác suất, trong đó thành phần x[n] là xác suất mà một biến ngẫu nhiên rời rạc có giá trị n, và hàm X(z) thường được viết là X(s), với s = z−1. Các tính chất của biến đôi Z (dưới đây) có cách diễn giải rất hữu ích trong bối cảnh của lý thuyết xác suất.

Định nghĩa địa vật lý

Trong địa vật lý, định nghĩa thông thường cho biến đổi Z là một chuỗi hàm mũ của z trái ngược với z−1. Qui ước này được sử dụng, ví dụ, bởi Robinson và Treitel[2] và bởi Kanasewich.[1] Định nghĩa địa vật lý là:

Hai định nghĩa này là tương đương; Tuy nhiên, sự khác biệt kết quả có một số thay đổi. Ví dụ, với vị trí của Zero và cực di chuyển từ bên trong vòng tròn đơn vị sử dụng một định nghĩa, tới bên ngoài vòng tròn đơn vị sử dụng định nghĩa khác.[1][2]Do đó, cần phải chú ý định nghĩa nào đang được sử dụng bởi một tác giả cụ thể.